Descubrí estas actividades con tus alumnos para trabajar en el campo multiplicativo.
Con ellas lograrás:
Dividimos a los niños en grupos pequeños.
Entregamos a cada uno una cuadrícula de 10 x 10 .
Preguntamos: ¿Cuántos cuadraditos hay?
Expliquen el procedimiento que realizaron para resolverlo
Esta actividad favorece el uso de diversas estrategias de resolución.
La suma reiterada de cuadraditos por fila o columna puede ser una opción, y hasta podríamos decir que la más conveniente para la futura comprensión de la multiplicación.
Tabla mural que te viene con la Revista Primaria de Julio/Agosto 2021
Proponemos a los niños observar y explorar la tabla.
Explicamos el funcionamiento de la tabla y su finalidad.
Observamos en la tabla los números que se repiten.
Proponemos encontrar y colorear en la tabla todas las multiplicaciones que den como resultado el mismo número.Por ejemplo pintar de rojo todas las apariciones del 54.
Trabajamos en forma colectiva:
¿Cuántas veces aparece el dos en la tabla?
Registramos las operaciones que identificaron los niños y su producto.
Seleccionamos aquellas operaciones que nos permitan trabajar la propiedad conmutativa de la multiplicación (no serían valiosas para esta actividad las que representan cuadrados, por ejemplo 5 x 5).
2 x 1 = 2
1 x 2 = 2
8 x 5 = 40
5 x 8 = 40
2 x 10 = 20
10 x 2 = 20
Conversamos sobre esta propiedad de la multiplicación que indica que el orden de los factores no altera el producto.
¿Es lo mismo 5 x 2 que 2 x 5 ? ¿Por qué es lo mismo?
Pedimos que ayudándose con la tabla completen los siguientes resultados.
En los siguientes cálculos se borraron algunos números, complétalos:
.
.. por 5 = 40
… por 8 = 40
… por 10 = 60
… por 6 = 60
Observamos la tabla junto a los niños, y nos centramos en las columnas del 2 y el 3.
Reconocemos las regularidades: los números van de 2 en 2 y de 3 en 3 .
Proponemos completar diferentes grillas numéricas siguiendo las regularidades.
Es necesario a veces tomar conciencia de algunos conocimientos que ya poseemos y muchas veces no identificamos con determinadas estructuras.
Hay algunos productos que ya están de forma memorística en nuestros conocimientos previos. Primero haremos tomar conciencia a los alumnos de ello a través de preguntas.
¿Cuántos dedos tengo en una mano?
¿Y en las dos?
¿Entonces podemos decir que el doble de 5 es…
¿Qué otros dobles conocemos?
¿El doble de 1? ¿El doble de 2? ¿El doble de 3?
Entregamos a los niños una tabla pitagórica en blanco y pedimos que completen la columna del 2 y la del 4.
Observamos el doble de 2 es 4 y el de 4 es 8 , y así sucesivamente.
Reconocemos la relación doble — mitad, cuatro es el doble de 2 entonces 2 es la mitad de 4.
Proponemos que en grupos encuentren en la tabla pitagórica otras columnas donde la relación sea de doble y mitad.
Proponemos para resolver en duplas:
¿Sabiendo los resultados de la tabla del 5 puedo completar los de la tabla del diez? ¿Explica por qué?
Juan dice que para completar la columna del 9 hizo el doble de la columna del 6 ¿Es correcta su afirmación? ¿Por qué?
Es conveniente también entregar la tabla en blanco a los alumnos y que ellos la vayan completando comenzando por la columna del 2, la del 4 , la del 8… De esta forma se podrá analizar descubriendo nuevas relaciones, como que 4 x 2 es 8 por ejemplo.
Completa la tabla del 9 leyendo las pistas.
Sube por las decenas, baja por las unidades
Luego de la resolución por cada equipo, pasarán al frente a explicar cómo lo resolvieron usando las pistas.
Cada niño contará con una tabla pitagórica.
La maestra sacará diferentes multiplicaciones de una bolsa, los niños deberán ubicar el producto o resultado de la multiplicación en la tabla.
Si queremos que el juego tenga un ganador, entregar una tabla con sólo algunos resultados a cada grupo. La maestra saca las multiplicaciones de la bolsa y cada grupo pintará o colocará una tapita sobre el resultado si lo tiene en su tabla. Gana el grupo que complete primero todos los números de su tabla pitagórica.
La maestra saca de una bolsa un número del 1 al 100.
Los niños en grupos deberán en 20 segundos encontrar todas las multiplicaciones que tengan como resultado ese número. Se reitera las veces que nos parezca oportuno.
Una vez que culmina el juego cada grupo mostrará las multiplicaciones que escribió para cada producto o resultado que la maestra dijo.
Gana un punto cada multiplicación correcta y resta un punto si la multiplicación es incorrecta, es decir, no da el número cantado como resultado.
Proponemos diferentes situaciones problemáticas dejando a los niños utilizar la tabla como apoyo para realizar los cálculos.
Un cuadro de básketbol tiene 5 jugadores.
¿Cuántos jugadores hay en 6 cuadros?
¿En 7?
¿En 8?
Juan está completando su álbum de figuritas. Para terminar cada página debe pegar 9 figuritas. Ya completó 5 páginas.
¿Cuántas figuritas pegó en total?
Escriban 3 multiplicaciones que den como resultado 30.
Escriban 4 multiplicaciones que den como resultado 40.
La mamá de Sofía compró para su fiesta de cumpleaños 6 fundas de refrescos. Cada funda trae 8 botellas.
¿Cuántas botellas compró?
Mi abuela para hacer una torta utiliza 5 huevos
Completa la tabla a partir de esta información.
1 torta 5 huevos
5 tortas
8 tortas
3 tortas
10 tortas
Explica esta cuenta:
4 x 2 + 4 x 3 = 4 x 5
Encuentra en la tabla otras relaciones similares a esta.
Escribe en forma de multiplicación 6 + 6 + 6 + 6 + 6
¿Qué harían para calcular el triple de un número?
Sumarle 3
Multiplicar por 3
Restarle 3
Marca las multiplicaciones que dan 24
8 x 3
3 x 8
6 x 4
5 x 5
4 x 6
8 x 4
¿Cuántas patas tienen 6 caballos?
¿Y 6 moscas?
¿Y 6 arañas?
¿Y 6 gallinas?
Juego en el que se propone completar espacios en una tabla Pitagórica a la que le faltan números. Para cumplir con la tarea se deben buscar las relaciones entre números a partir de saber si se repiten o no y dónde se ubican en la tabla.
¿Qué número falta? se trata de un juego que se propone a los alumnos, donde deben seleccionar de los números que se les ofrecen, aquellos que forman parte de las celdas incompletas de una sección de la tabla Pitagórica.
Se espera que los jugadores observen los números representados, así como las celdas vacías en búsqueda de relaciones.
Sugerencias para el docente:
A modo de ejemplo se suman al juego algunas preguntas de elección múltiple en referencia a los números elegidos, procurando su análisis individual o en pequeños grupos, como parte del juego. Esto es recomendable que sea retomado en una puesta en común comparando estrategias de los alumnos y propiciando además la pregunta sobre otras situaciones, regularidades o relaciones que cada niño o pequeño grupo haya podido notar. El registro de estas primeras conclusiones pueden ser de ayuda en siguientes actividades, a modo de acuerdos provisorios.
Se sugiere tener a disposición la tabla Pitagórica para apoyarse en ella al momento de esta tarea en el grupo total.
El juego ha sido diseñado de tal forma que al seleccionar un número como parte de el sector de la tabla Pitagórica, éste desaparece de la pantalla. Esto puede representar una dificultad para los alumnos, que pueden optar por registrar en el bloc de notas del que disponen en el mismo juego para no olvidar sus elecciones.
(Estos registros pueden copiarse y pegarse en un documento de Office o en la plataforma virtual si el docente lo estima conveniente)
Finalmente, es interesante que los niños puedan reconocer que los números involucrados pueden ser parte de dos sectores de la tabla: se sugiere entonces retomar la primera parte del juego, donde debían seleccionar los números de acuerdo al sector que ellos creían estar recomponiendo, y hacerlo entendiendo que el 90 está ubicado en la columna de la tabla del 9, y luego hacerlo pensando en que el 90 está formando parte de la columna del 10.
Discutir con ellos por qué los números de las celdas vacías coinciden puede facilitar esa búsqueda de relaciones en la tabla e incluso a la propiedad conmutativa.
Es interesante también observar que dos números de ese sector no se repiten (64 y 81) procurando que noten que se trata de aquellos números que son producto del mismo número repetido dos veces, a diferencia del 80, por ejemplo, que es el producto de 8 x 10 y de 10x 8.
Se les puede solicitar una nueva revisión de la tabla, observando si esta situación se repite en otros sectores de la tabla, por ejemplo.
Todas estas actividades promueven la búsqueda de relaciones y regularidades en la tabla, lo cual permite ir más allá de la repetición memorística y en orden secuenciado de las tablas de multiplicar.
Autor
Romero, Karinna y Martín, Milena
Responsable
Romero, Karinna y Martín, Milena
Palabras clave
Tabla Pitagórica
operaciones
tablas de multiplicar
Relacionar tablas
Destinatarios
Docentes
Fecha de publicación
Etiquetas
Juegos y aplicaciones
Licencia del recurso
Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0)
Formato
Interactivo
Nivel
Primaria 4º
Table of Pythagoras.
The numbers of the natural series are arranged horizontally and vertically; at the intersection of columns and rows are their products. The diagonal of the table is formed by squares of numbers. The table can be continued to the right and down indefinitely.
Greek Ionian numerals.
Triangular and square multiplication tables from Arithmetic published in 1489 in Germany.
Fig. 1. «Square and triangular numbers».
Fig. 2. «Remainders modulo 5» for k=5.
Fig. 3. «Three-color mosaics by residuals» with k=13.
Fig. 4. «Decomposed mosaics» at k=29.
Fig. 5. «Three-color mosaics with additions» at k=16.
Fig. 6. «Three-color mosaics — not dense» at k=23.
Fig. 7. «Monochrome pattern» at k=31.
Fig. 8. «Kaleidoscope of patterns» at k=20.
Fig. 9. «Alternating hundreds».
Fig. 10. «Alternating hundreds of points.»
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The Pythagorean table, approximately in the same form as it is printed on the covers of school notebooks, but in Ionian numbering, first appeared in the work of the neo-Pythagorean Nikomachus of Geraz (I-II centuries AD).
e.) «Introduction to Arithmetic». According to Nicomachus, this table goes back «to Pythagoras himself.» Even more ancient multiplication tables were found on Mesopotamian clay tablets — their «age» is about 5 thousand years.
The Pythagorean table can be expanded to the right and down to infinity, observing the only condition: each number of the table is the product of the row number and the column number in which it stands.
Extended multiplication tables have been around for a long time. So, for example, in the first printed mathematical book in Russian, «Counting is convenient, by which any person who buys or sells can very conveniently find all sorts of things» (Moscow, 1682) contains a multiplication table for numbers from 1×1 to 100×100. (Its name is given by I. Ya. Depman in his book «The History of Arithmetic». — M .: Prosveshchenie, 1965, p. 190.)
The multiplication table hides many wonderful mathematical patterns, the search for which can turn into an exciting activity that promises many surprises.
A computer can be involved in studying the properties of the extended Pythagorean table. Each number of the table will be represented by a point (or cell) of the coordinate plane of the monitor and, in accordance with the properties of the numbers, we will color the points with some color. This is implemented using a program template written in Turbo Basic version 1.1.
screen 12
for n=1 to 120
for m=1 to 120
p=m*n
line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),15,bf
if condition then line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),1,bf
next m,n
When the program is executed, each number p of the extended Pythagorean table 120×120, located at the intersection of n of the column and m of the row, will be displayed as a white cell, and numbers that satisfy the condition specified in the program — blue.
So, in fig. 1 (program 1) square numbers of the Pythagorean table are highlighted in blue: 1, 4, 9, 16, …, n 2 ,… , green — triangular: 1, 3, 6, 10, …, 1 / 2 n ( n ),… +1 in red both square and triangular at the same time: 1, 36, 1225, 41616, etc.
To get an idea of how the Pythagorean table contains numbers that give the same remainder when divided, for example, by 5, let’s paint the numbers that give remainders 0, 1, 2, 3, 4, each with its own color. Surprising as it may seem, the Pythagorean table turns out to be divided into squares of exactly the same coloring (Fig. 2, program 2).
A similar partition is obtained by dividing the numbers of the table by any other natural number k , into , which is easy to verify by replacing the number 5 with it in the program.
Due to the property of the periodicity of the Pythagorean table for residuals, various mosaics appear on the screen. Obviously, the more k , the more residues r will be, the more colors will be required. So that the patterns are not too colorful, we limit ourselves, for example, to three colors. To do this, we group the remainders modulo 3, that is, with the first color we paint the numbers of the table with remainders 1, 4, 7, 10 .
., the second — numbers with remainders 2, 5, 8, 11 .., and the third — numbers that are multiples of 3 ( Fig.3, program 3).
You can divide any of these mosaics into three single-color ones, complementing one another to a complete mosaic. Each of them separately is also of interest (Fig. 4, program 4).
Another variant of tricolor mosaics is shown in Fig. 5 (program 5). Here
for greater symmetry, not only numbers with the same
remainder r , but also numbers with a remainder complementing r
up to k .
Interesting mosaics also arise when not all numbers are colored, but selectively. For example, the tricolor pattern in Fig. 6 (program 6).
A lace monochrome pattern (Fig. 7, program 7) occurs if in the entire table only numbers that give remainders comparable to the same natural number are painted with the same color.
And if you include a random number generator in the program to determine the size of the squares k , lying in the period of numbers of the extended Pythagorean table and color numbers c , then with the help of a computer the table will turn into a kind of kaleidoscope of amazing and non-repeating patterns (Fig.
8, program 8).
On fig. Figure 9 (program 9) shows how the 32×32 Pythagorean table alternates between odd and even hundreds. Here, each number is represented by a blue or green cell. Moreover, the numbers of the first, third, fifth, etc. hundreds are painted over in blue, and the numbers of the second, fourth, sixth, etc. — green. It is clear that if the product n x m is constant, then there is an inverse proportionality between the numbers, so the alternating blue and green stripes are hyperbolic.
As the product n x m increases, the width of the stripes decreases, and then the stripes completely break and break up into single-color islands, which are grouped with islands of the same color, but from a different hundred, forming symmetrical shapes (Fig. 10, program 10). Here, each number in the 480×480 table is represented by a dot-pixel. Mysteriously, the Pythagorean table unexpectedly turns into a periodic structure. I wonder how this can be explained?
If you carefully and patiently study the properties of the Pythagorean table, you will undoubtedly find new, no less beautiful patterns based on this ancient numerical scheme.
PROGRAMS
Building tables
1 . «Square and triangular numbers»
screen 12
for n=1 to 120
for m=1 to 120
p=m*n
line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),
15, bf 92
if p=q then line (4*n,4*m)-(4*n+2.4*m+2),9,bf
t=int(sqr(2*p))
if p=t*(t+1)/2 then line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),2,bf
t=int(sqr(2*p))
if p=t*(t+1)/2 and p=q then line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),4,bf
next m,n
2 . «Remainders modulo 5»
screen 12
for n=1 to 60
for m=1 to 60
p=m*n
c=p mod 5
line (8*n,8*m)-(8*n+6.8*m+6),
c+9,bf
next m,n
3 . «Tri-color mosaics on the remnants»
screen 12
for k=1 to 50
cls
for n=1 to 120
for m=1 to 120
p=m*n
r=p mod k
c=r mod 3
line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),
3*c+9,bf
next m,n,k
4 .
«Decomposed mosaics»
screen 12
for k=2 to 29 step 3
cls
for n=1 to 150
for m=1 to k
p=m*n
r=p mod k
c=r mod 3
line(4*n,4*m+165*c)-(4*n+
+2.4*m+165*c+2),3*c+9,bf
next m,n,k
5 . «Tri-color mosaics with additions»
screen 12
for k=1 to 50
for n=1 to 120
for m=1 to 120
p=m*n
r=p mod k
if r>k/2 then r=k-r
c= r mod 3
line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),
c,bf
next m,n,k
6 . «Three-color mosaics — not dense»
screen 12
for k=1 to 50
class
for n=1 to 120
for m=1 to 120
p=m*n
r=p mod k
if r=1 or r=k-1 then line(4*n,4*m)-(4*n+2.4*m+2),9,bf
if r=k\2 or r=k-k\2 then line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),
12.bf
if r=k\4 or r=k-k\4 then line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),
15.bf
next m,n,k
7 .
«Monochrome pattern»
screen 12
for k=1 to 50 step 3
cls
for n=1 to 120
for m=1 to 120
p=m*n
r=p mod k
if r mod 3=2 then line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),14,bf
next m,n,k
8 . «Kaleidoscope of patterns»
screen 12
for i=1 to 50
c(1)=int(rnd(1)*6)
1 c(2)=int(rnd(1)*11)
if c(2)=c(1) then goto 1
2 c(0)=int(rnd(1)*16)
if c(0)=c(1) or c(0)=c(2) then 2
3k=int(rnd(1)*43)+7
if k mod 3=0 then 3
for z=1 to 1000000
next z
cls
for n=1 to 120
for m=1 to 120
p=m*n
r=p mod k
if r>k/2 then r=k-r
c= r mod 3
line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),
c(c),bf
next m,n,i
9 «Hundred Alternate»
screen 12
for n=1 to 60
for m=1 to 60
p=m*n
c=int(p\100) mod 2+1
line(8*n,8*m)-(8*n+6,8*m+6),
c,bf
next m,n
10.
«Hundreds interleaved spot»
screen 12
for n=1 to 480
for m=1 to 480
p=n*m
p=int(p/100)
c=p mod 2+1
pset(n,m),c
next m,n
Pythagorean table is a multiplication table in which the factors are located in the first column and the first row, and the product is in the cells. Table sizes 1-10 are not finite, you can expand the table indefinitely.
And it is best to use it when teaching children multiplication than the multiplication table with examples, since it is important that the child not only memorize the multiplication table, but also learn to understand it.
Working with such a table is very simple, but it is better to start after the child has already become acquainted with multiplication and understands its principle.
First, tell your child that multiplying is one of the basic arithmetic operations (or mathematical operations), in which you need to take one number as many times as the sum of the terms, as the other contains ones, and find the sum of these terms.
For example, multiplying 4 by 5 means taking the number 4 as a summand five times and finding the sum: 4+4+4+4+4=20.
Then introduce the child to multiplying by 1, 10, 5, 4 and 9:
— If you multiply a number by 1, you get the same number: 3×1=3.
— If you multiply a number by 10, then it goes from the category of units to the category of tens and it has 0 at the end: 4×10 = 40.
— If you multiply a number by 5, then the product will end in 0 or 5 and they alternate. Moreover, if the multiplier is even, then the product will end with o, and if it is odd, then with 5.
— To multiply by 4, you can simply double the number twice. For example, to multiply 6 by 4, you need to double 6 twice: 6 + 6 = 12, 12 + 12 = 24.
— When multiplying by 9, multiply the number by 10, it’s simple, and then subtract the multiplier from the resulting product. For example, 7×9=70-7=63.
Now you can introduce the child to the Pythagorean table and offer to learn it.
Let the child look at the table, and then fill it in on their own.
After he completes the Pythagorean table, ask him if he noticed any patterns in it. If yes, then discuss them. If not, then try to find them together:
— The table is symmetrical, since the main property of multiplication is commutative, which sounds like this: the product does not change when the factors are rearranged. Therefore, if you draw a diagonal in the Pythagorean table, it turns out that its upper part reflects the lower one.
— If you choose a number and draw a line up and to the side to the multipliers, you get a rectangle. Moreover, the number of cells in this rectangle will be equal to the number that will be obtained by multiplying the corresponding factors. Using this example, it is very easy to explain to a child the meaning of the area of a rectangle. The area of a rectangle is equal to the product of the lengths of its sides. That is, the area of the rectangle is the number of cells enclosed in the rectangle.